প্রবাবিলিটির পরিচয়

যেভাবে এলো প্রবাবিলিটি
১৬৫০ সালের কথা। তখনকার সময়ে ফ্রান্সে জুয়া খেলা ছিল আভিজাত্যের প্রতীক। ফরাসি সমাজে জুয়া হরহামেশাই চলতো। তখনকার সময়ে এক বিখ্যাত জুয়ারী chevalier de Méré একদিন চিন্তা করলেন কিভাবে খেললে জয়ের সম্ভাবনা বেশী থাকবে ? এজন্য তিনি তার বন্ধু ব্লেইস প্যাসকেল কে অনুরোধ করলেন বিষয়টির সমাধান করার জন্য। প্যাসকেলের কাছেও বিষয়টি বেশ আকর্ষণীয় মনে হোল। প্যাসকেল তখন তার আরেক গনিতবিদ বন্নধু পিয়ের দ্য ফার্মা সাথে বিষয়টি নিয়ে যোগাযোগ করেন। এরপর চলতে থাকে দুই জনের নিরন্তর চিন্তা । আর এভাবেই জন্ম নেয় প্রবাবিলিটি।
প্রবাবিলিটির এই ইতিহাসের বাইরেও আরেকটি ইতিহাস রয়েছে । আরব গনিতবিদ আল-খলিলি (৭১৭-৭৯১) তার লেখা বই Book of Cryptographic Messages এ সর্ব প্রথম প্রবাবিলিটির প্রাথমিক ধারনা পাওয়া যায়, তিনি এনক্রিপশনের জন্য আরবি বর্ণমালার বিন্যাস ও সমাবেশের (Permutation & Combination) ব্যবহার করেন। এটাই প্রবাবিলিটির সবথেকে প্রাচীন প্রয়োগ।
ছবি - আল-খলিলি ,প্যাসকেল এবং ফার্মা
প্যাসকেল এবং ফার্মা প্রবাবিলিটির যে ধারনাটি দেয় সেটি মূলত ক্লাসিক্যাল প্রবাবিলিটি । এই তত্ত্ব অনুযায়ী আমরা যে এক্সপেরিমেন্টের মাধ্যমে কোন ইভেন্টের প্রবাবিলিটি নির্ণয় করি তার স্যাম্পল স্পেসের সকল সম্ভাব্য ঘটনার প্রবাবিলিটি সমান হতে হয়। যেমন লুডুর ছক্কা চাল দিলে ৬ টি ঘটনা ঘটতে পারে, অর্থাৎ ১ থেকে ৬ এর ভেতরে যেকোনো ফলাফলই আসতে পারে। এই এক্সপেরিমেন্টে সকল ঘটনার প্রবাবিলিটি সমান ,বা যেকন ছক্কার চালে যেকোনো সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা ১/৬ বা সকলেরই সমান সম্ভাবনা। তবে সমস্যা হোল বাস্তবের সব ঘটনার ক্ষেত্রে সব প্রবাবিলিটি সমান হয় না। তাই প্রবাবিলিটির আরেকটি ধরন রয়েছে এটাকে বলা হয় ফ্রিকোয়েন্সি এপ্রোচ অব প্রবাবিলিটি । এই পদ্ধতিতে একটি এক্সপেরিমেন্ট অনেক সংখ্যক বার করা হয় এবং প্রাপ্ত ফলাফলের ফ্রিকোয়েন্সি বা ঘটন সংখ্যার ভিত্তিতে প্রবাবিলিটি নির্ণয় করা হয়।
প্রবাবিলিটি কি ?
প্রবাবিলিটি বা সম্ভাব্যতা হচ্ছে কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাব্য গানিতিক পরিমাপ। যেমন টস করলে হেড উঠার সম্ভাবনা কতখানি সেটাই হচ্ছে এই ঘটনার প্রবাবিলিটি।
সম্ভাব্যতা= অনুকূল ঘটনা / মোট ঘটনা
উদাহরন হিসেবে বলা যায় , লুডু খেলায় আপনি একটি চাল দিবেন তাতে ৬ উঠার সম্ভাব্যতা কত? লুডুর ডাইসে মোট ঘটনার সংখ্যা ৬ টি (১,২,৩,৪,৫, ও ৬) এবং অনূকুল ঘটনা ১ টি অর্থাৎ ৬ উঠার ঘটনা। তাহলে ৬ উঠার সম্ভাব্যতা প্রবাবিলিটি হবে ১/৬
প্রবাবিলিটি এবং পসিবলিটি
যেসকল ঘটনা ঘটা সম্ভব সেটাই প্রবাবিলিটির আয়ত্তায় পড়ে। যে ঘটনা ঘটা সম্ভব না সেটা ইম্পসিবল ইভেন্ট , এধরনের ঘটনার প্রবাবিলিটি শূন্য। অপরদিকে যেসকল ঘটনা অবশ্যই ঘটবে সেটা সার্টেইন ইভেন্ট । যেমন আমাদের কোন না কোন একদিন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা ১ অর্থাৎ এটি সার্টেইন ইভেন্ট অপরদিকে আমাদের চিরদিন বেচে থাকার সম্ভাবনা ০ অর্থাৎ এটি ইম্পসিবল ইভেন্ট। প্রবাবিলিটির মান অবশ্যই ০ থেকে ১ এর ভেতরে হয়।
ছবি - প্রবাবিলিটি (সূত্র ইন্টারনেট)
প্রবাবিলিটি কি নিশ্চয়তার কথা বলে ?
প্রবাবিলিটি আসলে একটি গাইডলাইন, প্রবাবিলিটি আমাদের জানায় সাধারনত কোন ঘটনার ফলাফল কেমন হতে পারে। প্রবাবিলিটি কেবলই প্রাকৃতিক নিয়মের প্রতিচ্ছবি। মনে করুন আপনি কয়েন টস করতে যাচ্ছেন , প্রবাবিলিটির সূত্র অনুযায়ী আপনার হেড উঠার প্রবাবিলিটি ০.৫ এবং টেইল উঠার প্রবাবিলিটিও ০.৫। এই এক্সপেরিমেন্টে আপনি চার বার টস করলেন। প্রবাবিলিটির নিয়ম অনুযায়ী আপনার দুইবার হেড এবং দুইবার টেইল পাবার কথা, কিন্তু বাস্তবে দেখা গেল আপনি তিনবার হেড আর একবার টেইল পেয়েছেন। তাহলে প্রবাবিলিটির যে তত্ত্ব এতক্ষন ধরে জানলেন তা কি মিথ্যে ?
আপনি যদি কয়েন টস এক্সপেরিমেন্টটি ১০ বার করেন তাহলে হয়তো ৬ বার হেড আর ৪ বার টেইল পাবেন অর্থাৎ হেড উঠার প্রবাবিলিটি পেলেন ০.৬ এবং টেইল উঠার প্রবাবিলিটি পেলেন ০.৪ । এবার এক্সপেরিমেন্টে ট্রায়েলের সংখ্যা বাড়িয়ে ১০০ নিয়ে যান, এবার দেখবেন হয়তো হেড পেয়েছেন ৪৮ বার এবং টেইল পেয়েছেন ৫২ বার অর্থাৎ হেড উঠার প্রবাবিলিটি পেলেন ০.৪৮ এবং টেইল উঠার প্রবাবিলিটি পেলেন ০.৫২। ১০ বারের তুলনায় ১০০ বার ট্রায়েল নিলে হেড এবং টেইল উভয়েরই প্রবাবিলিটি ০.৫ এর কাছাকাছি হয়ে যায়। এভাবে আপনি এই এক্সপেরিমেন্টে ট্রায়েল এর সংখ্যা যত বাড়াতে থাকবেন প্রবাবিলিটির সত্যতা আপনার কাছে তত বেশী স্পষ্ট হয়ে উঠবে। এটাই হচ্ছে ' ল অব লার্জ নাম্বার' ।
পাইথনে এই এক্সপেরিমেন্টটি প্রবাবিলিটি ল্যাব -১ এ দেয়া রয়েছে।
প্রবাবিলিটির বিভিন্ন উপাদান
  • এক্সপেরিমেন্ট - পুনরাবৃত্তি মূলক ঘটনা যা কিছু নির্দিষ্ট সম্ভাব্য ফলাফলের সমন্বয়ে গঠিত হয় তাকেই এক্সপেরিমেন্ট বলে। যেমন লুডু খেলা।
  • আউটকাম- কোন এক্সপেরিমেন্টের প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলকেই আউটকাম বলে। যেমন লুডুর চালে ১,২,৩,৪,৫ বা ৬ উঠতে পারে, এগুলি সবই হচ্ছে আউটকাম।
  • স্যাম্পল স্পেস- সকল আউটকামকে একসাথে স্যাম্পল স্পেস বলে।
  • ইভেন্ট- এক বা একাধিক আউটকামকে ইভেন্ট বলে। যেমন লুডুর চালে জোড় সংখ্যা (২,৪ বা ৬) উঠার ঘটনা একটি ইভেন্ট।