বিভিন্ন ধরনের ইভেন্ট

• ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট- যে সকল ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্য কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সাথে সম্পর্কিত নয়, এধরনের ঘটনাকে/ ইভেন্টকে ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট বলে। যেমন কয়েন টসে হেড বা টেইল উঠার প্রবাবিলিটি অন্য কোন ইভেন্টের সাথে সম্পর্কিত নয়।

• ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট- যে সকল ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্য কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সাথে সম্পর্কিত , এধরনের ঘটনাকে/ ইভেন্টকে ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্ট বলে। যেমন একটি তাসের প্যাকেটে ৫২ টি তাস থাকে তার ভেতর ৪ টি টেক্কা। অর্থাৎ প্রাথমিক ভাবে টেক্কা পাবার সম্ভাবনা ৪/৫২। এখন কেউ একজন একটি তাস নিল এবং তাসটি একটি টেক্কা, এই অবস্থায় পরের জনের জন্য টেক্কা পাবার প্রবাবিলিটি পরিবর্তিত হয়ে ৩/৫১ তে পরিনত হোল। অর্থাৎ আমরা দেখতে পেলাম প্রথম ঘটনার সাথে দ্বিতীয় ঘটনার প্রবাবিলিটি নির্ভরশীল।

• মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট- এমন অনেক ঘটনা আছে যা একসাথে ঘটা সম্ভব নয়, এমন ঘটনাকে মিউচুয়ালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট বলে । যেমন লুডুর চাল দিলে একসাথে ৫ এবং ৬ অথাবা অন্য যেকোন দুটি সংখ্যা একসাথে পাওয়া সম্ভব নয় ।

কমপ্লিমেন্ট - কোন এক্সপেরিমেন্ট এর সকল আউটকাম থেকে কোন ইভেন্টকে বাদ দিলে যা অবশিষ্ট থাকে সেটাই হচ্ছে ঐ ইভেন্টের কমপ্লিমেন্ট । উদাহরন হিসেবে বলা যায় লুডু খেলায় মোট আউটকামের সংখ্যা ৬ টি । ধরে নিলাম জোড় উঠার ইভেন্ট এক্ষেত্রে ২,৪ ও ৬ এর সমন্বয়ে গঠিত । তাহলে জোড় উঠার ইভেন্টের কমপ্লিমেন্ট হচ্ছে ১,৩ ও ৫ ।

ছবি- কোন ইভেন্টের কমপ্লিমেন্ট (সুত্র-ইন্টারনেট)

প্রবাবিলিটির গুনের সূত্র

১) ইন্ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্টের ক্ষেত্রেঃ মনে করি A এবং B দুটি ইভেন্ট , এই ইভেন্ট দ্বয় যদি ইন্ডিপেন্ডেন্ট হয় অর্থাৎ একটির ঘটা বা না ঘটার সাথে অপর ইভেন্টের প্রবাবিলিটির কোন সম্পর্ক না থেকে সেক্ষেত্রে আমরা নিম্নক্ত নিয়ম অনুসরন করবো,

P(A and B) = P(A) × P(B)

উদাহরন- একটি পাত্রে ৩ টি নীল মার্বেল , ২ টি লাল এবং ৪ টি হলুদ মার্বেল রাখা আছে। এখন আপনাকে বলা হোল প্রথমে একটি মার্বেল তুলবেন , সেটির রং লিখে রাখবেন এবং পাত্রে ফেরত রাখবেন। এরপর আবার আরেকটি মার্বেল তুলবেন এবং সেটির রংও লিখে রাখবেন। এখন প্রথম মার্বেলটি লাল হবার পরে দ্বিতীয়টি নীল হবার প্রবাবিলিটি কত ? P(red) = 2/9 P(blue) = 3/9 P(redblue) = (2/9)(3/9) = 6/81 = 2/27 =0.074

২) কন্ডিশনাল বা ডিপেন্ডেন্ট ইভেন্টের ক্ষেত্রেঃ A এবং B দইভেন্ট দ্বয় যদি ডিপেন্ডেন্ট হয় অর্থাৎ একটির ঘটা বা না ঘটার সাথে অপর ইভেন্টের প্রবাবিলিটির পরিবর্তিত হয়ে সেক্ষেত্রে আমরা নিম্নক্ত নিয়ম অনুসরন করবো,

P(A and B) = P(A) × P(B|A)

উদাহরন - একটি বাক্সে ৫ টি সবুজ পেন্সিল এবং ৭ টি হলুদ পেন্সিল আছে। ধরুন আপনি প্রথমে একটি হলুদ পেন্সিল তুললেন এবং সেটি আর ফেরত রাখলেন না । এবার দ্বিতীয় পেন্সিল তুললে সেটিও হলুদ হবার প্রবাবিলিটি কত ?

মনে করি প্রথম পেন্সিল হলুদ হবার সম্ভাবনা P(A)= 7/12

দ্বিতীয় পেন্সিল হলুদ হবার সম্ভাবনা P(A|B) = 6/11

P(A and B) = P(A) × P(B|A) = 7/12 x 6/11 = 0.318

যেহেতু প্রথমবার একটি হলুদ পেন্সিল উত্তোলনের ফলে দ্বিতীয় বার পেন্সিল উত্তোলনের সময় মোট পেন্সিল এর সংখ্যা ১ টি কমে গিয়ে ১১ হয় এবং হলুদ পেন্সিল এর সংখ্যাও ১ টি কমে গিয়ে ৬ হয়ে যায়।

যখন কোন কিছু উত্তোলন করে আবার ফেরত দেয়া হয় সেই পদ্ধতিকে বলা হয় With Replacement, আর যদি ফেরত দেয়া না হয় সেই পদ্ধতিকে বলা হয় Without Replacement.

প্রবাবিলিটির যোগের সূত্র

১) মিউচুয়াল এক্সক্লুসিভ ইভেন্টের ক্ষেত্রেঃ মনে করি A এবং B দুটি ইভেন্ট , এই ইভেন্ট দ্বয় যদি মিউচুয়াল এক্সক্লুসিভ হয় অর্থাৎ দুটি ইভেন্ট কখনই একসাথে ঘটতে না পারে সেক্ষেত্রে আমরা নিম্নক্ত নিয়ম অনুসরন করবো,

P(A or B) = P(A) + P(B)

উদাহরন- মনে করুন আপনাকে ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে যেকোনো একটি তাস বাছাই করতে বলা হোল। আপনার বাছাইকৃত তাসটি একটি কিং অথবা কুইন হবে তার প্রবাবিলিটি কত ?

P (King)= 4/52

P ( Queen) = 4/52

P (King or Queen) = P (King) + P ( Queen) = 4/52 + 4/52 = 0.153

২) কমন ইভেন্টের ক্ষেত্রেঃ A এবং B দুটি ইভেন্ট , এই ইভেন্ট দ্বয় যদি মিউচুয়াল এক্সক্লুসিভ না হয় অথবা এই ইভেন্টের ক্ষেত্রে যদি কোন কমন অংশ থাকে সেক্ষেত্রে আমরা নিম্নক্ত নিয়ম অনুসরন করবো,

P(A or B) = P(A) + P(B) - P (A and B)

উদাহরন- কোন একটি ক্লাসে মোট ৩০ জন শিক্ষার্থী আছে, যাদের ভেতরে ১৭ জন ছেলে এবং ১৩ জন মেয়ে। ক্লাস টেস্টে ৪ জন ছেলে এবং ৫ জন মেয়ে A+ পেয়েছে। এখন যদি আপনাকে র‍্যান্ডমলি একজন শিক্ষার্থী বাছাই করতে বলা হয় তাহলে ঐ শিক্ষার্থীর মেয়ে অথবা A+ পাবার প্রবাবিলিটি কত হবে ?

P(girl) = 13/30 , P(A+) = 9/30, P(girl and A+)= 5/30

P(girl or A+) = P(girl) + P(A+) - P(girl and A+)=13/30 + 9/30 - 5/30= 17/30=0.56

এখানে P(girl and A+)= 5/30 একটি ওভারল্যাপ অংশ কারন এই অংশের ভেতরে মেয়ে শিক্ষার্থী এবং A+ পাওয়া শিক্ষার্থীদের কমন অংশটি এসেছে। যেহেতু এই অংশটি উভয় অংশের সাথে কমন তাই এটিকে বিয়োগ করা হয়েছে। মিউচুয়াল এক্সক্লুসিভ নয় এমন সকল ক্ষেত্রে আমরা এই পদ্ধতি অনুসরন করি।