প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন

প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন

প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন হচ্ছে প্রবাবিলিটিকে ছড়িয়ে দেয়া। কোন ডিসিশন নেয়ার ক্ষেত্রে প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন একটি চমৎকার উপায়। এর মাধ্যমে আমরা সহজেই বুঝতে পারি সবথেকে প্রবাবল ইভেন্ট কি ?

প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন কেন প্রয়োজন ?

আমাদের বাস্তব জগতের অনেক ঘটনাকেই আমরা প্রবাবিলিটির মাধ্যমে ব্যাখ্যা করতে পারি। আমরা আগেই জেনেছি প্রবাবিলিটি হচ্ছে ন্যাচারাল ল বা প্রাকৃতিক নিয়মের বহিঃপ্রকাশ। প্রবাবিলিটি কোন একটি এক্সপেরিমেন্টে বিভিন্ন ইভেন্টের ভেতরে তাদের ঘটার সম্ভাবনা ছড়িয়ে দেয়, এরফলে আমারা বুঝতে পারি কোন ইভেন্ট বাস্তবে ঘটার সম্ভাবনা সবথেকে বেশী। ধরুন একজন রোগীর বেশ কয়েকটি উপসর্গ রয়েছে। এই উপসর্গ গুলো একাধিক রোগের সাথে সাদৃশ্য পূর্ণ । এক্ষেত্রে আমরা যদি প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করি তাহলে দেখতে পাবো, কোন রোগের সাথে সাদৃশ্য সবথেকে বেশী। এভাবে সহজেই বোঝা যায় এই রোগীর ক্ষেত্রে কোন রোগটি হবার সম্ভাবনা বেশী। প্রবাবিলিটি ডিস্ত্রিবিউশন হচ্ছে একপ্রকার সিদ্ধান্ত নেবার টুল যেটি ব্যবহার করে আমরা বাস্তব জগতের অনেক সিদ্ধান্তই খুব সহজেই নিতে পারি।

র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল

প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন এর সাথে র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল বিষয়টি ঘনিষ্ট ভাবে জড়িত। র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল হচ্ছে এমন এক ধরনের ভ্যারিয়েবল যেটি কোন র‍্যান্ডম এক্সপেরিমেন্ট এর সম্ভাব্য সকল আউটকাম এর সেটের সমন্বয়ে গঠিত। র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল হতে পারে ডিসক্রিট বা কন্টিনিউয়াস।

• ডিসক্রিট র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল- এ ধরনের র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল এর আউটকামগুলো কাউন্ট করা যায় বা গোনা যায়, যেমন কয়েন টস এক্সপেরিমেন্টে আউটকাম এর সংখ্যা ২ টি আবার লুডু খেলার এক্সপেরিমেন্টে আউটকাম এর সংখ্যা ৬ টি। Bernoulli , Bernoulli ,Poison ইত্যাদি ডিস্ট্রিবিউশন ডিসক্রিট র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল এর সমন্বয় গঠিত।

• কন্টিনিউয়াস র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল- এধরনের র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল এর আউটকাম কাউন্ট করা বা গোনা যায় না। এর আউটকাম একটি নির্দিষ্ট ইন্টারভাল এর ভেতরে যেকোনো কন্টিনিউয়াস ভ্যালুই হতে পারে। Exponential, Normal Distribution ইত্যাদি কন্টিনিউয়াস র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল এর সমন্বয়ে গঠিত।

বারনৌলি ডিস্ট্রিবিউশন

বারনৌলি ডিস্ট্রিবিউশন এর সবথেকে পারফেক্ট উদাহরন হচ্ছে কয়েন টস। কয়েন টস এর এক্সপেরিমেন্টে মাত্র দুটি ঘটনা ঘটে থাকে। আউটকাম হিসেবে হেড আসা অথবা টেইল আসা। দুটি আউটকাম ভিত্তিক এক্সপেরিমেন্ট এই ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরন করে থাকে। এই ডিস্ট্রিবিউশনে একটি ঘটনা এবং অপর ঘটনাটির প্রবাবিলিটি হচ্ছে1−p । বারনৌলি ডিস্ট্রিবিউশন হচ্ছে ডিসক্রিট প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন।

বাইনমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন

বাইনমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন এর ধারনা এসেছে মূলত বারনৌলি ডিস্ট্রিবিউশন থেকেই। বাইনমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন এ এক্সপেরিমেন্টটি কত বার করা হবে সেটি উল্লেখিত থাকে। এটিও একধরণের ডিসক্রিট প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন ।

উদাহরন- কোন একটি হাসপাতালের ডেটাবেজ থেকে দেখা যায় যে একটি নির্দিষ্ট রোগে মোট আক্রান্তের ৭৫% রোগী মৃত্যুবরন করে। এই রোগে আক্রান্ত এমন ৬ জন রোগীকে যদি র‍্যান্ডমলি বাছাই করা হয়, তাদের মধ্যে ৪ জন বেচে থাকবে তার প্রবাবিলিটি কত ?

উপরের চার্টে আমরা দেখতে পাচ্ছি ৪ জন বেচে থাকবে সেই প্রবাবিলিটি হচ্ছে ০.৩২৯৫ । এক জন বেচে থাকবে সেই প্রবাবিলিটিই সবথেকে বেশী আর ৬ জন বেচে থাকবে তার প্রবাবিলিটি সবথেকে কম। এভাবে আমরা সম্ভাব্য সবগুলো ঘটনার প্রবাবিলিটি নির্ণয় করতে পারি।

পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন

পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন এর একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এখানে একটি নির্দিষ্ট ইন্টারভ্যাল থাকে। অর্থাৎ কোন নির্দিষ্ট ইন্টারভ্যালের ভেতরে কোন ইভেন্ট কতবার ঘটতে পারে তার প্রবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন করা যায়। এই ডিস্ট্রিবিউশনে λ প্যারামিটার মিন ভ্যালু প্রকাশ করে। এবং x দ্বারা ইভেন্টের সংখ্যা প্রকাশ করা হয়। যেমন ফুটবল খেলায় কয়টি গোল হতে পারে সেটা এই ডিস্ট্রিবিউশন দ্বারা বের করা সম্ভব।

উদাহরন- কোন একটি ইলেক্ট্রিক মোটর নির্মাণকারি কোম্পানি যে মোটর তৈরি করে তাতে ত্রুটি যুক্ত মোটর তৈরি হবার প্রবাবিলিটি ০.০১ । র‍্যান্ডমলি ৩০০ টি মোটর বাছাই করা হলে তার ভেতর ৫ টি মোটর ত্রুটিযুক্ত হবে তার প্রবাবিলিটি কত?

নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন

নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন সম্পর্কে আমরা আগেই কিছুটা আলোচনা করেছি । নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের শেপ অনেকটা বেল বা ঘন্টার মত হয়ে থাকে, যা সিমেট্রিক অর্থাৎ দুপাশেই সমান। বাস্তব জীবনে অনেক কিছুর মাঝেই নরমাল ডিস্ট্রিবিউসন দেখা যায়। নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন সিমেট্রিক হয়ে থাকে, অর্থাৎ মিন , মোড এবং মিডিয়ান ঠিক মাঝামাঝি জায়গায় অবস্থান করে এবং এর দুই পাশে সমান পরিমানে ডেটা অবস্থান করে। এটি একটি কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশন।

উদাহরন-একটি কোম্পানির কর্মীদের ঘন্টায় এভারেজ বেতন $3.25 যার স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন 60 cents। ঐ কোম্পানির কত শতাংশ কর্মীর বেতন $ 2.75 থেকে $ 3.69 ভেতরে ?

ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন

ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন ডিসক্রিট বা কন্টিনিউয়াস উভয় ধরনেরই হতে পারে। এই ডিস্ট্রিবিউশনকে ভিজুয়ালাইজ করলে অনেকটা সরলরৈখিক প্রবাবিলিটি দেখতে পাওয়া যায়। এধরনের আকারের জন্য এটিকে আয়াতকার ডিস্ট্রিবিউশন বা rectangular distribution ও বলা হয়। এই ডিস্ট্রিবিউশনের আরেকটি বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এর এভেন্ট ইকুয়ালি প্রবাবল হয়।

উদাহরণ- কোন স্টেশনে প্রতি মিনিট পর পর একটি ট্রেন ছেড়ে যায়। একজন ব্যক্তি র‍্যান্ডমলি যেকোন একটি সময়ে স্টেশনে উপস্থিত হলেন । এমন অবস্থায় তিনি মিনিটের ভেতরে ট্রেনটি আবার স্টেশনে উপস্থিত হবে তার প্রবাবিলিটি কত ?

এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন

এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন হচ্ছে একধরণের কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশন। ধরুন কোন এক ব্যক্তি তার কারখানার জন্য একটি মেশিন কিনলেন। প্রথম দিকে কিন্তু মেশিনটি বিকল হবার সম্ভাবনা একেবারেই কম থাকবে। সময়ের সাথে সাথে মেশিনটি বিকল হবার সম্ভাবনাও বাড়তে থাকবে। যত বছর যাবে মেশিনটির বিকল হবার সম্ভাবনাও বেড়ে যাবে। মূলত এধরনের ঘটনাই এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ - মনেকরুন কোন একটি ডিভাইসের গড় লাইফটাইম 10 বছর। ডিভাইসটি নূন্যতম 7 বছরের বেশী সময় ধরে সচল থাকবে তার প্রবাবিলিটি কত?